第146章 第二堂課

這句話似乎某種程度上印證了大個子弗萊迪的擔心——黎曼真的是覺得他們實力還不足以給他當實驗材料，甚至不願意單單從更好培養的小孩子培養起，而是決定將他們這些成年人也一塊拔苗助長了嗎？

但是，但是！

弗萊迪胸中無端地生出了一口豪氣！

怎能讓孩子們獨自承受危險，他們這些老胳膊老腿應該為他們擋在危險之前才是。

如果黎曼知道他在想什麽，估計只會憋出一句：“……你想太多了。”

黎曼和弗萊迪回到火堆群旁，那幾個小孩還聚在一起嘰嘰喳喳，不知道在討論些什麽，於是黎曼轉頭對弗萊迪說：“那就先把……嗯，十五歲以上的人聚集起來吧，我先給你們上課，艾爾他們還在討論他們的想法。”

……

黎曼看著面前坐了一排又一排的人，放了一個【召喚·光】，他又看向他們手中的一張紙一支筆：“呃，一張紙大概不夠記筆記的，你們多拿幾章。”

等其他人準備完畢，黎曼也捏出了一道石板，準備開始上課。

“你們這個年紀……那就從實數開始講起吧。”

“我知道你們對數的認知和魔法緊密關聯，但是我還是決定從正常的邏輯來介紹數。”

“最簡單，最容易被人類意識到，並且抽象概括出來的數，是正整數，我們再給它加一個0上去，就是自然數，自然數對加法和乘法是封閉的，這句話的意思是，1+1等於的2依舊是自然數，1乘2等於的2依舊是自然數，任意兩個自然數相加，相乘，結果依舊是自然數，那麽它對什麽是不封閉的呢？”

“減法。”

“如果我面前擺有五只野果，我吃掉了三只，把這個過程抽象為一個算式的話就是5-3=2，這種減法是比較直觀的，生活中常用的，最容易被抽象出來的，而且答案依舊在自然數裏。”

“但是如果算式是3-5，我們就沒法從自然數中找到一個數去當它的答案，但這個式子依舊是有意義的，比如我現在有三枚銀幣，但是我買了一本書，要五枚銀幣，那麽此時我倒欠書店老板2枚銀幣。”

“由此我們將數的範圍擴充到整數，也就是我們加入了負數的概念。”

“現在，整數對加法，乘法，減法都已經是封閉的了，但是它依舊不夠好用。”

“我們會碰到這樣的情況，現在有八個人出去采集野果，采到了十六個野果，那麽我們自然地就會將16平分給8個人，並且得到算式16/8=2，也就是除法，整數對除法是不封閉的，比如2/3，得到的就不是整數，於是我們把數的範圍擴充到有理數。”

“我知道你們更習慣把這個叫做分數，但是我更喜歡叫有理數，所以記下這個詞然後以後你們就知道它代表什麽了。”

“在這裏我們對有理數進行一個定義，我們把有理數定義為p/q，其中pq是互質的整數，q為正整數，p為整數。”

“有理數的範圍足夠我們做大多數運算了，但是它並不囊括了所有數。”

“比如經典的根號2，我們來證明一下，根號2不為有理數，也就是說，根號二沒法表示成分數。”

“我們采用一個反證法。”

“假設根號2可以表示為形式為p/q的有理數，其中pq是互質整數，那麽我們可以得到一個等式p?=2q?。”

“我再次強調一遍，我們假設了p，q都是整數，那麽這種情況下，p必不能為奇數，因為奇數的平方裏不可能有2這個因數，對嗎？”

“所以我們推出，p為偶數，偶數可以表示為2k，其中k為整數。”

“於是我們又得到了一個等式，2k?=q?，同理可得，q為偶數。”

“也就是說，從根號2是有理數這個前提，我們可以推出這樣一個結果，p和q擁有一個共同的因數2，而這違背了最初的假設pq互質，由此可得這個前提條件是錯誤的。”

“根據類似的思路我們還可以證明根號3，根號12是無理數。”

“然後在這裏，我要第一次引入無窮的概念，我現在畫一條線段，這條線段的起點是0，終點是1，也就是它是一段長度為1的有限長的線段。”

“那麽請思考這樣一個問題，如果我要從0走到1，那麽我得先走到0和1的中點1/2，如果我要從0走到1/2，那麽我就需要先走到0和1/2的中點1/4，而這個過程是可以無限繼續下去的，你們看到問題所在了嗎？”

“第二個例子，依舊是這條線段，我把它豎起來，然後我再在它的旁邊畫一條傾斜一點的線段，有點像直角三角形的高和斜邊長，對吧。”

“這兩條線段的長度明顯是不想等的，但是我們可以將上面的點一一對應起來，橫著連線，對，假設，線段是由一個一個可數的點構成的，那麽我們就會得到一個荒謬的結論，也就是這兩條線段是相等的。”