第二十四章 測度論（第2/2頁）

當然，也真的只是基本概念而已。

“接下來，我們可以引入一些更加復雜的概念，比如說‘無窮大’。‘無窮大’這個概念也很復雜。我知道，在算學之外，這個概念也被一些人討論。或許你們當中有一些人就思考過這樣的問題——什麽叫無窮大。而現在，丟掉你們腦子當中那些玄之又玄的定義。在算學裏，無窮只有已知的兩種。可數無窮和不可數無窮。所有整數的集合便被稱為‘可數無窮’。不可數無窮比可數無窮更大，不存在比可數無窮更小的無窮……”

“所有實數的集合就是一個不可數無窮。而所有與‘所有實數的集合’等勢的集合，就被稱作‘連續統’。”講話到這裏，王崎笑了一下：“順便一提，這個系統裏面有相當一部分東西就是我證明的。換言之，這是我悟出來的東西。這一點必須強調一下。”

奧流臉色鐵青。

“我本人和‘連續統假設’的故事，有空再講給你們聽。總而言之，你們知道這麽個概念就行了。若要問‘可數無窮’和‘不可數無窮’之間的區別，那就簡單說一下吧——這或許就是無大小的點到線與面之間的奧妙。”

“現在回到主題。我們通常所說的長度面積體積這些詞，究竟是什麽意思？”王崎雙手撐在講桌上：“為了更清楚的闡明這個主題，讓我們把目光只集中在最簡單的一維情形，也就是說，我們只考慮‘長度’這個詞。我們希望，取出直線上的一部分，就有一個‘長度’存在。如果能做到這一點，那麽類似的，面積和體積之類的字眼也可以類似的得以理解。”

“首先，我們可以做出這樣的定義。一個直線，就是一個巨大的點集。”

“這個點集的每一個子集，包括它自身，都存在‘勢’。這個勢就是一個測度。”

“兩個彼此本身不相交的子集的並集——也就是這個大點集的另一個子集，也有測度並且這個測度應該等於兩者之和。簡單來說，兩個不相交不重疊的線段的總長度，就可以視作是它們各自長度的總和。”

“更進一步，三個不相交子集的測度之和也應該等於這三個子集並起來的集合的測度，四個也好，五個也好，依此類推，無窮個不相交子集的測度之和也應該等於把它們並起來得到的集合的測度。”

說到這裏，王崎鄭重地說道：“接下來，我們就可以做出最終的定義了。”

“一，空集對應的測度是零。二，若幹個彼此不相交的子集，它們並在一起得到的子集的測度，剛好等於這些子集各自測度之和。三，如果把直線看作實數軸，那麽從數軸上子點到醜點的線段對應的測度應當等於醜減去子。”

接著，王崎閉上眼睛，表情肅穆。

“就是人們通常所說的‘長度’的嚴密定義，而且是唯一正確的定義。”

當然，這句話略有些誇張。王崎剛才講述的勒貝格測度【在這個世界，它被喚作“歌庭測度”】，只是測度當中的一種。事實上，這個世界也會存在其他測度體系。數學上也承認不同於這種測度的其他測度。

比如，地球物理學當中會涉及的另一種測度，狄拉克測度【本世界也喚作“無量測度”】

這就讓很多數學家相信，實際上還有更加具有普遍性的測度，只是人類還沒有理解到那一步。

但是，就現階段來說，“長度”這個詞得到了嚴格的定義，人類對算學的認知也到了更深的層次。

有那麽一瞬間，奧流真的被震懾到了。他驚嘆於這種嚴密的智慧。但是他依舊問道：“這有什麽用呢？這不過是在玩文字遊戲。這種遊戲，我可以玩上一天……”

“是啊，有什麽用呢。”身形一閃，王崎再一次出現在奧流的面前：“這個定義，恰好能讓你意識到自身的渺小啊。”